LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

En esta oportunidad daremos algunos conceptos básicos de la parábola pero nos centraremos en su construcción como lugar geométrico. Para ello elegimos un software de descarga gratuita: Regla y compás. Incluye al final un video explicativo. Si tienen dificultad para ver las imágenes, con un click sobre ellas permite ampliarlas.

PARÁBOLA. DEFINICIÓN

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada  directriz.

Algunos elementos de la parábola: 

• Foco: es el punto fijo F
• Directriz: es la recta fija d
• Parámetro: distancia del foco a la recta directriz
• Eje: recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco
• Vértice: punto de intersección de la parábola con su eje.
• Cuerda focal: segmento que une dos puntos de la parábola y pasa por su foco.
• Recta tangente al vértice.

CONSTRUCCIÓN

Aquí se tratará la cuestión de ubicar los puntos equidistantes a  un punto focal f y a una recta directriz D determinada usando argumentos geométricos.

Observemos nuevamente la gráfica dada en la definición: Dado un punto d en la recta directriz, le corresponde un punto p de la gráfica de la parábola equidistante a d y a f. Así se forma un triángulo isósceles de vértices dpf de base df y cuyo punto medio será el extremo de la altura de dicho triángulo (*). Esto nos ayudará con nuestra propuesta:

Sean una recta directriz y un punto focal, ¿dónde se ubica el punto p que equidista de f y un punto d de la recta?

Sabemos que p es un punto ubicado en una recta perpendicular a D y que pasa por d.

Además conocemos por (*) que el punto medio m del segmento df es el extremo de la altura del triángulo isósceles dpf. Así graficamos el punto medio del segmento df y la perpendicular que pasa por m:

De esta manera queda determinado por la intersección de las rectas graficadas el punto p correspondiente a d y que cumple con la condición de que la distancia dp es igual a la distancia pf.

Hemos hallado un punto de la parábola. Aquí está la gráfica completa:

En el punto de intersección de la recta directriz con el eje de la parábola, el punto m coincide con p.

A continuación se incluye el video que explica paso a paso la construcción en el programa Regla y Compás usando las herramientas del software.

Espero les sea de gran utilidad en el aula.

Un abrazo virtual.