Si es Bayes…, es bueno

Teoría de la Probabilidad- Historia

Thomas Bayes¹

Escriben: Mirta L. González y Alberto H. Landro

Los mayores esfuerzos de los probabilistas de los siglos XV y XVI, a partir de un método de razonamiento de las “causas” a los “efectos”, estuvieron dirigidos exclusivamente a la resolución de problemas del tipo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bolilla blanca al realizar una extracción al azar de una urna que se sabe que contiene bolillas blancas y negras en una proporción conocida?

Bernoulli. Fue Jakob Bernoulli (“Ars conjectandi”, 1712) el primero en poner en evidencia que la explicación del comportamiento de los fenómenos de la naturaleza requería invertir este esquema de razonamiento: estimar la proporción de bolillas blancas y negras contenidas en la urna (“causas”), basándose en la evidencia que proporcionan los resultados de una serie de extracciones sucesivas al azar (“efecto”). En otros términos, exigía pasar de la probabilidad de que, dada una “causa”, se produzca un “efecto” determinado –de los clásicos–, a la probabilidad de que un “efecto” observado haya sido producido por una “causa” determinada.

El primer resultado exitoso en este proceso de inversión de la probabilidad se conoció recién en 1764 y se debió a una figura que, por lo enigmática, siempre despertó curiosidad entre los bienaventurados que alguna vez estudiamos la teoría del azar: el Reverendo Bayes (beis).

Bayes. Thomas Bayes (c.1702-1761) nació en Hertfordshire (¿?) (o Londres (¿?)). Su padre, Joshua Bayes (quien fue miembro de la Royal Society) había sido uno de los seis primeros ministros no conformistas ordenados en Inglaterra.

Recibió su primera educación en forma privada y, en 1719, ingresó a la Universidad de Edimburgo donde siguió estudios de lógica y teología, siendo ordenado Ministro Presbiteriano alrededor de 1727. A partir de ese momento, dedicó su vida al ejercicio de su ministerio en Tunbridge Wells hasta su retiro en 1752, y (primer dato curioso) no existe ningún indicio firme que permita suponer que haya estudiado con ninguno de los probabilistas de la época.

La obra conocida de Bayes está compuesta por dos tratados de metafísica: “Divine benevolence, or an attempt to prove that the principle end of the Divine Providence and government is the happiness of his creatures” (1731) y “An introduction to the doctrine of fluxions, and a defence of the mathematicians against the objections of the author of ‘The analyst’, so far as they are are designed to affect their general methods to reasoning” (1736). La primera fue escrita como respuesta a una memoria del Ministro anglicano Dr. John Balguy, en el marco de una polémica sobre la cuestión: si Dios no estaba obligado a crear el universo, entonces, ¿por qué lo hizo?, y la segunda como respuesta al ataque por parte del Obispo Berkeley a la teoría de las fluxiones de I. Newton, en su obra “The analyst, or a discourse addressed to an infidel mathematician” (1730) (probablemente la publicación de este trabajo haya sido la razón de su elección como miembro de la Royal Society en 1742).

Publicó (segundo dato curioso) solamente un breve artículo sobre matemática (contenido en una carta enviada a John Canton, publicado en 1763) acerca de las series divergentes, en particular, sobre el teorema de De Moivre-Stirling, y (tercer dato curioso) no es mencionado ni en las bibliografías, ni en los comentarios, ni en la correspondencia de ninguno de los matemáticos de la época.

Con respecto a la teoría de la probabilidad, sólo se conoce “An essay towards solving a problem in the doctrine of chances” – publicado en forma póstuma (1764) por su amigo el Reverendo Richard Price –, en el que figura el famoso (y bellísimo) teorema sobre la “probabilidad de las causas”.

A partir de estos antecedentes, ¿se puede asegurar que Thomas Bayes sea el autor del “teorema de Bayes”?

(No se pierda el próximo capítulo)

¹Este artículo es la primera parte de una serie de tres publicados en La Gacetas de Económicas, una publicación de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires. El artículo apareció en la versión impresa de esta publicación, Año 1 Nº6 pp.4-5 del 28 de enero de 2001. Pude leerse este artículo en línea en http://www.econ.uba.ar/servicios/publicaciones/La-Gaceta/Ga0106.pdf .

Las siguientes partes de este artículo pueden encontrarse en:

Página 2, “¡Qué verde era mi Bayes”, Año 1 Nº7 25/02/2001 http://www.econ.uba.ar/servicios/publicaciones/La-Gaceta/Ga0107.pdf

Página 3, “¡Aguante Bayes!”, Año 2 Nº8 25/03/2001 http://www.econ.uba.ar/servicios/publicaciones/La-Gaceta/Ga0108.pdf

LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

En esta oportunidad daremos algunos conceptos básicos de la parábola pero nos centraremos en su construcción como lugar geométrico. Para ello elegimos un software de descarga gratuita: Regla y compás. Incluye al final un video explicativo. Si tienen dificultad para ver las imágenes, con un click sobre ellas permite ampliarlas.

PARÁBOLA. DEFINICIÓN

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada  directriz.

Algunos elementos de la parábola: 

• Foco: es el punto fijo F
• Directriz: es la recta fija d
• Parámetro: distancia del foco a la recta directriz
• Eje: recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco
• Vértice: punto de intersección de la parábola con su eje.
• Cuerda focal: segmento que une dos puntos de la parábola y pasa por su foco.
• Recta tangente al vértice.

CONSTRUCCIÓN

Aquí se tratará la cuestión de ubicar los puntos equidistantes a  un punto focal f y a una recta directriz D determinada usando argumentos geométricos.

Observemos nuevamente la gráfica dada en la definición: Dado un punto d en la recta directriz, le corresponde un punto p de la gráfica de la parábola equidistante a d y a f. Así se forma un triángulo isósceles de vértices dpf de base df y cuyo punto medio será el extremo de la altura de dicho triángulo (*). Esto nos ayudará con nuestra propuesta:

Sean una recta directriz y un punto focal, ¿dónde se ubica el punto p que equidista de f y un punto d de la recta?

Sabemos que p es un punto ubicado en una recta perpendicular a D y que pasa por d.

Además conocemos por (*) que el punto medio m del segmento df es el extremo de la altura del triángulo isósceles dpf. Así graficamos el punto medio del segmento df y la perpendicular que pasa por m:

De esta manera queda determinado por la intersección de las rectas graficadas el punto p correspondiente a d y que cumple con la condición de que la distancia dp es igual a la distancia pf.

Hemos hallado un punto de la parábola. Aquí está la gráfica completa:

En el punto de intersección de la recta directriz con el eje de la parábola, el punto m coincide con p.

A continuación se incluye el video que explica paso a paso la construcción en el programa Regla y Compás usando las herramientas del software.

Espero les sea de gran utilidad en el aula.

Un abrazo virtual.

LA NUMERACIÓN ENTRE LOS SALVAJES

DE Raja Gabaglia

Este excelente artículo publicado en el libro “Matemática Divertida y Curiosa” lo he usado año tras año para introducir a mis alumnos de matemáticas de 7º año al concepto de Sistemas de Numeración siempre con resultados positivos, ya que los chicos pueden entender que existen otros sistemas aparte del decimal y se divierten en el proceso. Hace poco hablaba con un ex-alumno y éste, después de 5 años me preguntó con alegría “¿Se acuerda profe de los tamaníes del Orinoco?" Lo recomiendo.

Los tamaníes del Orinoco tienen nombres de desconocida etimología para los números hasta el cuatro¹; al número cinco se lo expresa con una palabra que significa, en lenguaje corriente, mano entera; para indicar el seis emplean la expresión uno de la otra mano; el siete, dos de la otra mano. Y así se van formando sucesivamente los números hasta el diez, que es designado por las palabras dos manos.

Para el once, muestran las dos manos y muestran un pie, diciendo una frase que podríamos traducir como: uno del pie; el doce sería dos del otro pie; del mismo modo irían formando los otros números enteros hasta el veinte, que es tevin itóto, es decir un indio.

El número siguiente de ese tevin itóto, el veintiuno, para los hijos del Orinoco, corresponde a la expresión; uno de las manos de otro indio.

Un método semejante es usado entre los habitantes de Groenlandia, para los cuales el cinco es tatdlimat (mano); el seis es arfinek ottausek (uno sobre la otra mano); veinte es inuk navdlugo (un hombre completo). Vale la pena citar aquí, a título de curiosidad, la forma en la que los nativos de Groenlandia representaban al número cincuenta y tres. Dicho número se expresa mediante una frase que quiere decir literalmente: ¡tres dedos del primer pie del tercer hombre!

En un gran número de tribus brasileras²: cairiríes, caraibas, carajás, coroados guakíes, juríes, omaguas, tupíes, etc., aparecen con ciertas variantes los números digitales: los omaguas emplean la palabra pua, que significa mano para expresar también el cinco, y con la palabra puapua indican 10; los juríes, con la misma frase, indican, indiferentemente, hombre o cinco. Según Balbi, los guaraníes dicen po-mocoi (dos manos) para el diez y po-petei (una mano) para el cinco.

En el Bakahiri³ existen nombres especiales para designar los números uno, dos y tres; el cuatro está formado por la expresión dos y dos; el cinco está indicado por una frase que significa  dos y dos y uno; análogamente forman el número seis diciendo dos y dos y dos. A partir de dicho número (el seis), se limitan a mostrar todos los dedos de la mano (como ya hacían para los primeros números), y después todos los dedos de los pies palpándolos pausadamente, dedo por dedo, demorándose en el dedo correspondiente al número. Es un ejemplo admirable de una lengua donde el gesto indica al número, al no existir vocablos propios, salvo para los tres primeros cardinales.

Asimismo existen dudas con relación a la existencia de vocablos especiales para los primeros (uno, dos, tres), pues Von den Steinen declara que en su primer viaje oyó el número tres expresado por un palabra que significaba, dos y uno; más tarde, en 1887, al realizar un segundo viaje oyó el mismo número (el tres) indicado por otra frase, sobre cuya etimología nada pudo descubrir.

NOTAS AL PIE

¹Tylor – Primitive Culture

²Martius – Gloesaria liguarum brasilium

³Según von den Steinen, que los analizó cuidadosamente, como lo comprobara más tarde el erudito J. Capistrano d’Abreu, estudiando el mismo idioma. (Nota de Raja Gabaglia).

Datos bibliográficos:

Malba Tahan. Matemática Divertida y Curiosa. 1ª ed. Bs As. Pluma y Papel (2006) pp.143-144

PROPUESTA DE ACTIVIDADES PARA LOS ALUMNOS

1)      Escucha atentamente el relato de Raja Gabaglia

2)      Escribe cómo los tamaníes del Orinoco llaman a los siguientes números, según lo cuenta el autor.

5=

6=

7=

10=

11=

12=

15=

16=

17=

20=

21=

3)      Expresa cómo dirían los tamaníes los siguientes números:

9=

14=

28=

35=

80=

125=

4)      ¿Qué cálculos tendríamos que hacer para expresar el número 578 como lo dirían los tamaníes? Explica las operaciones que realizaste.

Espero puedan disfrutarlo con sus chicos.

Un abrazo virtual

Isaac Newton

Matemático inglés (1642-1727)

“Si conseguí ver más allá es porque me paré sobre los hombros de gigantes.”

Estampilla postal en honor a Sir Isaac Newton

El emperador más poderoso del mundo no logró cambiar la historia de la humanidad como lo hizo Isaac Newton, un muchacho tranquilo, hijo de un granjero inglés, que nunca hizo más que pensar, estudiar y escribir.

Cuando nació Isaac, la mujer que ayudó a su madre en el parto no quiso darle muchas esperanzas de que sobreviviera: era tan chiquitito que cabía en una jarra de vino. El papá, un próspero granjero, había muerto hacía pocos meses de neumonía.

Y, sin embargo, Isaac salió adelante. Tenía tres años cuando su mamá, harta de luchar sola con su granja, se volvió a casar. Los abuelos se hicieron cargo del chico.

A los doce años lo inscribieron en una escuela pública de un pueblo cercano a su Woolsthorpe natal, a 150 kilómetros de Londres. Allí se estudiaba latín y la Biblia, pero nada de ciencia ni de matemáticas, salvo la aritmética más sencilla.

Fue tal vez allí donde Isaac empezó a descubrir qué distinto era de los otros chicos. Lejos de todos, se la pasaba inventando juguetes mecánicos: un molino de viento, un carrito que hacía funcionar un torno…

En una terrible tormenta, mientras la gente razonable corría a refugiarse, Isaac se puso a saltar a favor del huracán y después en contra, midió el largo de los saltos y así consiguió calcular la fuerza del viento.

Estaba claro que el chico Newton no era una persona sensata y no es extraño que la linda hija del farmacéutico no quisiera seguir saliendo con él. Ese parece haber sido el único romance de su vida.

Cuando terminó la escuela, su familia decidió que era hora de que asumiera responsabilidades como adulto, haciéndose cargo de la granja. ¡Qué desastre! Como granjero, ese muchacho era un tonto. Dejaba que las ovejas invadieran los maizales mientras se dedicaba a ese ridículo molino de agua. Era incapaz de ir los domingos al mercado a controlar personalmente las compras. Al fin la madre lo pensó mejor, recordó las recomendaciones del maestro, que admiraba la inteligencia del muchacho, y decidió que Isaac le iba a salir más barato estudiando que al frente de la granja.

La mente de Newton debe haberse lanzado como un perrito hambriento sobre el conocimiento que lo esperaba en la Universidad de Cambridge. Por fin se le permitía hacer lo único que deseaba en el mundo. Con inmenso placer se encontró con las matemáticas y lo poco que se sabía de ciencia, y estudió apasionadamente todo lo que se había descubierto hasta ese momento. Leyó a Euclides, a Galileo, a Descartes: los gigantes en cuyos hombros supo pararse para ver más lejos.

Entonces, en 1665, cuando Newton todavía no se había graduado, se desató en Inglaterra una terrible epidemia de peste bubónica. Más de setenta mil personas murieron solo en Londres. La gente huía desesperada de las ciudades, donde la aglomeración y las ratas hacían más fácil el contagio. Las universidades se cerraron por dos años. Isaac Newton volvió al campo, a su granja, y allí, entre los veintidós y los veinticuatro años, descubrió cómo funcionaba el Universo. Tenemos pruebas de que fue en ese momento, porque Newton escribía cartas a sus amigos científicos, y también porque les comunicó algunos de sus descubrimientos a sus alumnos.

Cuando en 1669 volvió a Cambridge había descubierto, entre muchas otras cosas, nuevos procedimientos matemáticos y la ley de gravedad, que explica cómo todos los cuerpos del Universo se atraen en relación con su masa y qué efecto tiene esta atracción sobre el movimiento de los planetas. Había construido el primer telescopio de reflexión, con un espejo curvo en vez de lentes, y se había dado cuenta de que la luz se divide en los colores del arco iris al pasar por un prisma (el análisis del espectro de colores se usa hoy para todas las investigaciones sobre las estrellas).

Es difícil explicar la enorme importancia que tuvieron y tienen  esos descubrimientos. Cuando Newton volvió a la universidad, su profesor estaba tan impresionado que renunció para dejarle su lugar.

Por otra parte, esa mente tan brillante tenía serias dificultades para tratar con el mundo cualquier cuestión que no fuera física y matemática. No se divertía como los otros jóvenes y era tan puritano que inventó una lista codificada de sus propias malas acciones, en la que consideraba pecados incluso los sueños y los malos pensamientos.

Durante veintisiete años Isaac Newton fue profesor en Cambridge. Un profesor discreto y retraído, siempre absorto en sus pensamientos. Se cuenta que cierta vez había subido una colina llevando a su caballo de las riendas y allí se quedó observando las estrellas mientras pensaba en las leyes del Universo. Cuando quiso volver a su casa, se dio cuenta de que tenía las riendas en la mano, pero no el caballo, que se había soltado y se había ido sin que él se diera cuenta.

Newton publicó algunos artículos. Esas publicaciones fueron discutidas con argumentos ridículos por varios científicos destacados. Desde entonces, cuando sus amigos trataban de convencerlo de que publicara sus descubrimientos, Newton contestaba que no quería perder tiempo discutiendo con tontos.

Durante un tiempo dejó incluso de interesarse por las ciencias. Sin embargo, finalmente, estimulado por sus amigos científicos, se puso a trabajar con una energía feroz y en un año y medio terminó sus Principios. Allí escribió casi todos sus descubrimientos científicos y matemáticos. Se publicó en 1687 y se considera todavía hoy el libro de ciencias más extraordinario y más importante que haya producido la humanidad. Durante los dos siglos siguientes no hubo nada comparable ni en física ni en matemáticas.

Esta vez no hubo discusión posible y sus geniales descubrimientos fueron reconocidos. A partir de entonces, durante el resto de su larga vida, aceptó un poco más el trato con la sociedad, que ahora lo admiraba. Fue a vivir a Londres, donde lo nombraron Presidente de la Sociedad Real de Ciencias, y fue nombrado caballero: Sir Isaac Newton.

Su mente seguía siendo excepcional, pero tal vez ya no tan productiva como en su juventud. Sin embargo, una tarde, después de todo un día de trabajo, se enteró de que un matemático presentaba un problema que no había podido resolver, como un desafío a los matemáticos más brillantes del mundo. Esa misma noche antes de acostarse encontró la solución.

Cuando tenía sesenta y dos años publicó su obra Óptica, en la que reunió y amplió sus trabajos sobre la luz y los colores, base de la astrofísica moderna.

Pero después, dejó de interesarse en la ciencia. Newton era profundamente religioso, y en sus últimos años se dedicó a las especulaciones teológicas.

Cuenta la leyenda que descubrió la ley de la gravedad una noche de luna llena, sentado bajo un manzano de su granja. Se supone que, al ver caer una manzana, se le ocurrió la idea de que la Luna estaba sometida a la fuerza de atracción de la Tierra, ni más ni menos que la manzana. Ese manzano se hizo famoso. Durante cien años la gente visitó el “Árbol de las Maravillas” para verlo y tocarlo con gran respeto. Cuando murió, en 1820, fue cortado en trozos, que se conservaron como reliquias.

De: Shua, Ana María. Vidas perpendiculares. Veinte biografías de personajes célebres. 1ª ed. Bs As. Grupo Editorial Norma, 2009. pp. 99-104