La Geometría del Origami

En el First International Meeting of Origami Science and Technology celebrado el año 1989, el profesor Humiaki Huzita presentó un trabajo en el que se establecían los axiomas de una nueva geometría que él mismo denominó Geometría del Origami y que resuelve problemas irresolubles con regla y compás mediante la geometría clásica como son la trisección del ángulo o la duplicación del cubo.

A partir de entonces son muchos los matemáticos que han trabajado sobre dicha geometría obteniéndose importantes resultados que sin embargo son totalmente desconocidos por muchos otros debido quizás a que tiene muy pocos años de existencia.

Se puede llegar a plantear problemas que vinculan el Origami con la Geometría Computacional y la Teoría de Grafos.

Este es un fragmento del excelente trabajo de Fco. Javier Cobos Gavala. Se puede bajar el artículo completo en http://www.linksole.com/tivdpd. Recomiendo leerlo.

He aquí la axiomática de la Geometría del Origami propuesta por Humiaki Huzita.

Axioma 1: Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue que los une.

La geometría de la regla y el compás nos dice que dados dos puntos puede dibujarse una recta que pasa por ellos.

Axioma 2: Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue que sitúa a P sobre Q.

La geometría de la regla y el compás nos dice que dados dos puntos podemos trazar la mediatriz del segmento que los une.

Axioma 3: Dado un punto P y una recta r se puede realizar el pliegue perpendicular a r que pasa por P.

Con regla y compás podemos trazar la recta perpendicular a una dada desde un punto exterior a ella.

Axioma 4: Dadas dos rectas r y s se puede realizar un pliegue que sitúa a r sobre s.

Podemos, con regla y compás trazar la bisectriz del ángulo determinado por dos rectas. Éste problema tiene, tanto en el caso del origami como en el de la recta y compás dos soluciones posibles.

Axioma 5: Dados dos puntos P y Q y una recta r podemos realizar un pliegue que sitúe a P sobre r y pase por Q.

Podemos, con regla y compás trazar un arco con centro Q y radio QP. Este arco cortará a la recta r, en general, en dos puntos A y B (habrá casos en que sea tangente y sólo exista un  punto y casos en los que el problema no tenga solución porque la distancia de Q a r sea mayor que la de Q a P). Las mediatrices de los segmentos AP y BP son soluciones a nuestro problema. Este problema tiene, tanto en el caso del origami como en el de la regla y el compás, el mismo número de soluciones.

Axioma 6: Dados dos puntos P y Q y dos rectas r y s se puede realizar un pliegue que sitúe a P sobre r y a Q sobre s.

Este axioma es específico de la geometría del origami, no teniendo equivalente en la geometría de la regla y el compás. En otras palabras, la recta (el pliegue) que podemos realizar mediante la técnica del plegado es imposible de realizar mediante regla y compás. Es, por tanto, este axioma el que establece la diferencia entre ambas geometrías y el que nos va a permitir resolver problemas como los de la trisección de un ángulo o la duplicación del cubo. En general este problema también tiene dos soluciones.