EJEMPLO PARA TRABAJAR CON EL CONCEPTO DE FUNCIONES Y SU CLASIFICACIÓN

Se organizó una salida de amigos que están próximos a casarse, los cuales debían asistir con sus respectivas parejas. A la pizzería concurrieron las siguientes personas, agrupadas en dos conjuntos: el conjunto de varones  y el de mujeres:

V={Ariel, Germán, Jorge}
M={Mariana, Inés, Carina, Cecilia}

Durante la cena se acercó al grupo Gabriel, un amigo con el que no tuvieron contacto desde que terminaron el secundario y que por casualidad estaba en el mismo local. Tratando de actualizarse un poco, contó algo de su vida y escuchó las cosas que sus amigos hicieron los últimos años. Como Gabriel es un poco colgado, quedó bastante confundido sobre quién era la prometida de cada amigo. Vamos a tratar de ayudarlo.  Deseamos analizar la siguiente correspondencia:

“V está comprometido con M”

Momento de confusión Nº1

En un primer momento, Gabriel entendió que Ariel estaba comprometido con Mariana y Jorge con Cecilia. Pero, ¿qué hacía Germán en esa reunión, entonces, si no estaba en pareja? Esta relación no es función porque Germán no tiene imagen, no cumple con la condición de existencia (requisito de salir sólo los que estaban comprometidos).

Momento de confusión Nº2

Para no quedar con la duda hizo más preguntas. Así se enteró que Germán sí estaba comprometido con Inés, pero también supo que Jorge estaba saliendo con Carina. Es decir, este muchacho se pasó de vivo y tiene dos novias (cualquier similitud con la realidad es pura coincidencia): tiene dos imágenes, luego, esta relación tampoco es función ya que no cumple la condición de unicidad.

Momento de confusión Nº3

Gabriel sabía que Jorgito era un picaflor cuando estaban en la secundaria, pero le intrigaba el hecho de que ambas novias estuvieran en el mismo lugar sin que ninguna de ellas se diera cuenta de la situación. Tratando de no ser evidente, siguió indagando y comprendió que en realidad él se había equivocado al creer que Jorge estaba comprometido con Cecilia. Así, todos los amigos tenían novia, y una sola novia (como debería ser). Decimos entonces, que cada varón tiene una única imagen, luego esta relación es función ya que cumple con la condición de existencia y unicidad.

Momento de confusión Nº4

Durante la charla que se prolongó hasta altas horas de la noche, Ariel se apartó del grupo para fumar un cigarrillo. Gabriel, que no acostumbraba a fumar mucho, al ver a su amigo sintió el deseo de hacerlo y se acercó a él, quien le convidó uno. Entonces, Ariel comenta algunas anécdotas graciosas que le habían sucedido, como cuando le pidió matrimonio a Inés. “¿Cómo? ¿No estabas acaso comprometido con Mariana?” Pregunta muy confundido Gabriel. “No, claro que no. Mi novia es Inés”, le respondió.

En este punto todos los varones tenían novia (cumple la condición de existencia), pero hay dos chicos que tiene la misma novia, Inés (repito, cualquier similitud con la realidad es pura coincidencia). Decimos entonces que cada varón tiene una única imagen (condición de unicidad), luego, esta relación es función ya que cumple con la condición de existencia y unicidad.

CONCLUSIÓN: Para identificar si una relación es función debemos observar el primer conjunto, si todos los elementos de este tienen imagen y si dicha imagen es única.

Las funciones se pueden clasificar en inyectiva, suryectiva o biyectiva.

Momento de confusión Nº5

“¡Pero qué mujer descarada!”, pensó Gabriel. “Sale con mis dos amigos a la vez y hasta tiene la desfachatez de estar con ellos en el mismo lugar.”

En este caso, habíamos dicho que es una función, ya que todos los varones tienen novia, y cada uno tiene una sola. Pero Ariel y Germán tienen la misma (esto no se debe hacer). Es decir, Ariel y Germán tienen la misma imagen. Decimos entonces que la función es no inyectiva, ya que a elementos diferentes del primer conjunto le corresponde la misma imagen.

Por otro lado, hay mujeres en el segundo conjunto que no son novias de nadie, es decir, no son imágenes de ningún elemento del primer conjunto. Por lo tanto como el rango no es igual a la imagen, decimos que la función es no suryectiva.

Momento de confusión Nº6

“¡O esta mujer es una desvergonzada o yo volví a entender mal!” Se dijo Gabriel, tratando de tranquilizarse. En ese momento, como la pizzería ofrecía un show musical, Germán saca a bailar a Cecilia, y ante los ojos del grupo, bailan el ritmo romántico que tocaban los músicos entre abrazos, besos y mimos. Esto no pareció importar a Inés, ni a las otras damas del grupo, por lo que Gabriel confirmó su sospecha de que se había confundido nuevamente.

En este caso es una función, ya que todos los varones tienen novia, y una sola novia. Decimos entonces que la función es inyectiva, ya que a elementos diferentes del primer conjunto le corresponden imágenes diferentes, es decir, cada varón tiene su novia y es única y distinta.

Por otro lado, hay una mujer en el segundo conjunto que no es novia de nadie, es decir, no es imagen de ningún elemento del primer conjunto. Por lo tanto, como el rango no es igual a la imagen, decimos que la función es no suryectiva. Por lo tanto tampoco es biyectiva.

Momento de confusión Nº7

El grupo de amigos estaban disfrutando esa noche. Sin embargo, Mariana tuvo que despedirse alegando que debía trabajar al otro día muy temprano. “¡Qué lástima!”, dijo Gabriel en confianza a Ariel, “Ella me estaba cayendo muy bien”. Ariel le respondió: “Sí, Mariana es una chica con un carácter muy agradable. Tuvo grandes cambios en su vida en los últimos años. ¿No la pudiste reconocer? Ella iba con nosotros en el mismo curso. En ese entonces se llamaba Rafael.”

En este caso es una función ya que todos los varones tienen novia, y una sola novia. Decimos entonces que la función es inyectiva, ya que a elementos diferentes del primer conjunto le corresponden imágenes diferentes, es decir, cada varón tiene su novia y es única y distinta.

Por otro lado, todas las mujeres en el segundo conjunto son novias. Es decir, todas las mujeres son imágenes de un varón del primer conjunto. Por lo tanto, como el rango es igual a la imagen, decimos que la función es suryectiva.

Finalmente, como la función es inyectiva y suryectiva podemos decir que también es biyectiva.

CONCLUSIÓN: Un noviazgo serio, es como mínimo una función inyectiva.

Texto adaptado de los apuntes  de “INTRODUCCIÓN A LAS CIENCIAS ECONÓMICAS- MÓDULO DE MATEMÁTICAS” de G. Rhode y otros, Facultad de Ciencias Económicas, UNNE, 2012.