Se organizó una salida de amigos que están
próximos a casarse, los cuales debían asistir con sus respectivas parejas. A la
pizzería concurrieron las siguientes personas, agrupadas en dos conjuntos: el
conjunto de varones y el de mujeres:
V={Ariel, Germán,
Jorge}
M={Mariana, Inés, Carina, Cecilia}
M={Mariana, Inés, Carina, Cecilia}
Durante la
cena se acercó al grupo Gabriel, un amigo con el que no tuvieron contacto desde
que terminaron el secundario y que por casualidad estaba en el mismo local.
Tratando de actualizarse un poco, contó algo de su vida y escuchó las cosas que
sus amigos hicieron los últimos años. Como Gabriel es un poco colgado, quedó
bastante confundido sobre quién era la prometida de cada amigo. Vamos a tratar
de ayudarlo. Deseamos analizar la
siguiente correspondencia:
“V está comprometido
con M”
Momento de confusión Nº1
En un primer
momento, Gabriel entendió que Ariel estaba comprometido con Mariana y Jorge con
Cecilia. Pero, ¿qué hacía Germán en esa reunión, entonces, si no estaba en
pareja? Esta relación no es función porque Germán no tiene imagen, no cumple
con la condición de existencia (requisito de salir sólo los que estaban
comprometidos).
Momento de confusión Nº2
Para no quedar
con la duda hizo más preguntas. Así se enteró que Germán sí estaba comprometido
con Inés, pero también supo que Jorge estaba saliendo con Carina. Es decir,
este muchacho se pasó de vivo y tiene dos novias (cualquier similitud con la
realidad es pura coincidencia): tiene dos imágenes, luego, esta relación
tampoco es función ya que no cumple la condición de unicidad.
Momento de confusión Nº3
Gabriel sabía
que Jorgito era un picaflor cuando estaban en la secundaria, pero le intrigaba
el hecho de que ambas novias estuvieran en el mismo lugar sin que ninguna de
ellas se diera cuenta de la situación. Tratando de no ser evidente, siguió
indagando y comprendió que en realidad él se había equivocado al creer que
Jorge estaba comprometido con Cecilia. Así, todos los amigos tenían novia, y
una sola novia (como debería ser). Decimos entonces, que cada varón tiene una
única imagen, luego esta relación es función ya que cumple con la condición de
existencia y unicidad.
Momento de confusión Nº4
Durante la
charla que se prolongó hasta altas horas de la noche, Ariel se apartó del grupo
para fumar un cigarrillo. Gabriel, que no acostumbraba a fumar mucho, al ver a
su amigo sintió el deseo de hacerlo y se acercó a él, quien le convidó uno.
Entonces, Ariel comenta algunas anécdotas graciosas que le habían sucedido,
como cuando le pidió matrimonio a Inés. “¿Cómo? ¿No estabas acaso comprometido
con Mariana?” Pregunta muy confundido Gabriel. “No, claro que no. Mi novia es
Inés”, le respondió.
En este punto
todos los varones tenían novia (cumple la condición de existencia), pero hay
dos chicos que tiene la misma novia, Inés (repito, cualquier similitud con la
realidad es pura coincidencia). Decimos entonces que cada varón tiene una única
imagen (condición de unicidad), luego, esta relación es función ya que cumple
con la condición de existencia y unicidad.
CONCLUSIÓN: Para
identificar si una relación es función debemos observar el primer conjunto, si
todos los elementos de este tienen imagen y si dicha imagen es única.
Las funciones
se pueden clasificar en inyectiva, suryectiva o biyectiva.
Momento de confusión Nº5
“¡Pero qué
mujer descarada!”, pensó Gabriel. “Sale con mis dos amigos a la vez y hasta
tiene la desfachatez de estar con ellos en el mismo lugar.”
En este caso,
habíamos dicho que es una función, ya que todos los varones tienen novia, y
cada uno tiene una sola. Pero Ariel y Germán tienen la misma (esto no se debe
hacer). Es decir, Ariel y Germán tienen la misma imagen. Decimos entonces que
la función es no inyectiva, ya que a elementos diferentes del primer conjunto
le corresponde la misma imagen.
Por otro lado,
hay mujeres en el segundo conjunto que no son novias de nadie, es decir, no son
imágenes de ningún elemento del primer conjunto. Por lo tanto como el rango no
es igual a la imagen, decimos que la función es no suryectiva.
Momento de confusión Nº6
“¡O esta mujer
es una desvergonzada o yo volví a entender mal!” Se dijo Gabriel, tratando de
tranquilizarse. En ese momento, como la pizzería ofrecía un show musical,
Germán saca a bailar a Cecilia, y ante los ojos del grupo, bailan el ritmo
romántico que tocaban los músicos entre abrazos, besos y mimos. Esto no pareció
importar a Inés, ni a las otras damas del grupo, por lo que Gabriel confirmó su
sospecha de que se había confundido nuevamente.
En este caso
es una función, ya que todos los varones tienen novia, y una sola novia.
Decimos entonces que la función es inyectiva, ya que a elementos diferentes del
primer conjunto le corresponden imágenes diferentes, es decir, cada varón tiene
su novia y es única y distinta.
Por otro lado,
hay una mujer en el segundo conjunto que no es novia de nadie, es decir, no es
imagen de ningún elemento del primer conjunto. Por lo tanto, como el rango no
es igual a la imagen, decimos que la función es no suryectiva. Por lo tanto
tampoco es biyectiva.
Momento de confusión
Nº7
El grupo de
amigos estaban disfrutando esa noche. Sin embargo, Mariana tuvo que despedirse
alegando que debía trabajar al otro día muy temprano. “¡Qué lástima!”, dijo
Gabriel en confianza a Ariel, “Ella me estaba cayendo muy bien”. Ariel le
respondió: “Sí, Mariana es una chica con un carácter muy agradable. Tuvo
grandes cambios en su vida en los últimos años. ¿No la pudiste reconocer? Ella
iba con nosotros en el mismo curso. En ese entonces se llamaba Rafael.”
En este caso
es una función ya que todos los varones tienen novia, y una sola novia. Decimos
entonces que la función es inyectiva, ya que a elementos diferentes del primer
conjunto le corresponden imágenes diferentes, es decir, cada varón tiene su
novia y es única y distinta.
Por otro lado,
todas las mujeres en el segundo conjunto son novias. Es decir, todas las
mujeres son imágenes de un varón del primer conjunto. Por lo tanto, como el
rango es igual a la imagen, decimos que la función es suryectiva.
Finalmente,
como la función es inyectiva y suryectiva podemos decir que también es
biyectiva.
CONCLUSIÓN: Un noviazgo
serio, es como mínimo una función inyectiva.
Texto adaptado de los apuntes de “INTRODUCCIÓN A LAS CIENCIAS ECONÓMICAS- MÓDULO DE MATEMÁTICAS” de G. Rhode y otros, Facultad de Ciencias Económicas, UNNE, 2012.
